الجبر في امتحان البسيخومتري: شرح وأمثلة محلولة
بقلم فريق خزائن · آخر تحديث:
باختصار
الجبر جزء من «أسئلة ومسائل» في مجال التفكير الكمّي في امتحان البسيخومتري، وهي معظم أسئلة الفصلين الكمّيين (لكل فصل 20 دقيقة). يذكر المركز القطري مواضيع منها القوى والجذور، خصائص الأعداد، المتباينات، العوامل، الكسور، المعادلات، قوانين الضرب المختصر، محور الأعداد وهيئة المحاور. الآلة الحاسبة ممنوعة، ومعظم القوانين في صفحة القوانين داخل كرّاسة الامتحان.
صفحة مفصّلة عن الجبر في القسم الكمّي من امتحان البسيخومتري: ما الذي يُسأل، والمهارات الفرعية التي تحتاجها، وثلاثة أمثلة محلولة كتبها فريق خزائن، والأخطاء الشائعة، ونصائح للوقت. المعلومات عن الامتحان من موقع المركز القطري للامتحانات والتقييم مع رابط المصدر. خزائن غير تابعة للمركز القطري.
ماذا يفحص الجبر في البسيخومتري؟
يقسّم المركز القطري أسئلة التفكير الكمّي إلى نوعين: أسئلة ومسائل، وهي معظم أسئلة الفصل وتتناول مواضيع في الجبر والهندسة، وأسئلة فهم الرسوم البيانية والجداول. الجبر إذن في قلب القسم الكمّي: تقريبًا كل سؤال، حتى في الهندسة والمسائل، ينتهي بمعادلة أو تعبير عليك أن تبسّطه.
من المواضيع التي يذكرها المركز: القوى والجذور، خصائص الأعداد، المتباينات، العوامل، العمليات على الأعداد الصحيحة والكسور، المعادلات، قوانين الضرب المختصر، محور الأعداد وهيئة المحاور. ويوضّح المركز أن حفظ القوانين ليس من المهارات المطلوبة، وأن معظم القوانين موجودة في صفحة القوانين المطبوعة في كرّاسة الامتحان، وأن حساب المثلثات والتفاضل والتكامل ليست جزءًا من الامتحان.
الآلة الحاسبة ممنوعة، لذلك الأسئلة مبنية بحيث تُحلّ بحساب يدوي قصير إذا فهمت البنية. السؤال الجبري الجيد في البسيخومتري لا يكافئ من يحسب أسرع، بل من يرى الطريق الأقصر.
المصدر: التفكير الكمّي: الأسئلة والمسائل، أسئلة شائعة (الأجهزة الممنوعة)
المهارات الفرعية في الجبر
في منهج خزائن نقسّم الجبر إلى مهارات صغيرة تتدرّب على كل واحدة منها وحدها:
- القوى والجذور: قوانين ضرب القوى وقسمتها مثل aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ، والقوة السالبة والقوة صفر، وتبسيط الجذور.
- خصائص الأعداد: الزوجي والفردي، الأعداد الأولية، قابلية القسمة، والفرق بين العدد الصحيح والكسر والعدد السالب.
- العوامل والكسور: التحليل إلى عوامل، والمضاعف المشترك الأصغر، وجمع الكسور وضربها دون آلة حاسبة.
- المعادلات: معادلة بمجهول واحد، وجهاز معادلتين بمجهولين، والمعادلة التربيعية البسيطة.
- المتباينات: حلّها وتمثيل الحل على محور الأعداد.
- قوانين الضرب المختصر: مثل (a − b)² = a² − 2ab + b² وa² − b² = (a − b)(a + b).
- هيئة المحاور: النقطة والمسافة وميل المستقيم.
المصدر: منهج خزائن للقسم الكمّي.
أمثلة محلولة
مثال 1: الضرب المختصر
السؤال: إذا كان a + b = 7 وab = 10، فما قيمة a² + b²؟
(1) 49 (2) 29 (3) 39 (4) 69
الحل: لا حاجة لإيجاد a وb. ربّع المعادلة الأولى: (a + b)² = a² + 2ab + b² = 49. عوّض ab = 10: a² + b² = 49 − 20 = 29. الإجابة الصحيحة (2).
الفخ: الإجابة (1) لمن يظن أن (a + b)² تساوي a² + b²، والإجابة (3) لمن يطرح ab مرة واحدة بدل 2ab.
مثال 2: خصائص الأعداد
السؤال: n عدد صحيح فردي. أيّ من التعابير التالية هو بالضرورة عدد زوجي؟
(1) n² (2) n + 2 (3) 3n + 1 (4) 2n − 1
الحل: عوّض عددًا فرديًا بسيطًا، مثل n = 1: تحصل على 1 و3 و4 و1. التعبير الوحيد الزوجي هو (3). ويمكن التأكد بالمنطق: 3n فردي لأنه حاصل ضرب عددين فرديين، وفردي زائد 1 زوجي دائمًا. الإجابة الصحيحة (3).
درس عام: في أسئلة «بالضرورة» يكفي مثال واحد لاستبعاد إجابة، لكن لا يكفي مثال واحد لإثباتها. جرّب عددًا ثانيًا (n = 3) قبل أن تحسم.
مثال 3: المتباينات
السؤال: ما مجموعة الحلول للمتباينة −2x + 6 > 10؟
(1) x > −2 (2) x < −2 (3) x > 2 (4) x < 8
الحل: اطرح 6 من الطرفين: −2x > 4. عند القسمة على عدد سالب ينقلب اتجاه الإشارة: x < −2. الإجابة الصحيحة (2).
الفخ: الإجابة (1) هي الحل نفسه دون قلب الإشارة. تحقّق بعدد من المجال: x = −3 يعطي 12 > 10، وهذا صحيح.
أخطاء شائعة في أسئلة الجبر
- الاعتقاد أن (a + b)² تساوي a² + b²، أو أن √(a + b) تساوي √a + √b.
- نسيان قلب اتجاه المتباينة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.
- نسيان الحل السالب عند حلّ معادلة مثل x² = 25.
- القسمة على متغيّر قد يساوي صفرًا: إذا قسمت طرفي x² = 3x على x تخسر الحل x = 0.
- افتراض أن المتغيّر عدد صحيح موجب. إذا لم يقل السؤال ذلك، جرّب الصفر والأعداد السالبة والكسور، فمثلًا x² < x صحيحة عندما x = ½.
- الإجابة عن قيمة المتغيّر بينما يطلب السؤال تعبيرًا آخر مثل 2x − 1.
المصدر: منهج خزائن للقسم الكمّي.
كيف تتدرّب على الجبر؟
التحسّن في الجبر يأتي من التكرار المنظّم أكثر من حلّ أسئلة صعبة جدًا. خطة مقترحة:
- ابدأ بالأساسيات التي تتكرّر في كل سؤال: الكسور، والقوى، وقوانين الضرب المختصر. حلّ عشرة تمارين قصيرة يوميًا دون آلة حاسبة حتى يصبح الحساب اليدوي تلقائيًا.
- انتقل بعدها إلى موضوع واحد في كل جلسة (المتباينات مثلًا)، وحلّ أسئلة من مستويات مختلفة، ثم راجع كل خطأ واكتب سببه في جملة واحدة.
- بعد كل مجموعة، اسأل نفسك: هل كان هناك طريق أقصر؟ مقارنة حلّك بالحل المشروح تعلّمك الاختصارات التي توفّر الوقت في الامتحان.
- في الأسبوعين الأخيرين حلّ أسئلة الجبر مختلطة مع باقي أنواع الفصل الكمّي، وبالتوقيت الحقيقي.
المصدر: منهج خزائن للقسم الكمّي.
نصائح للوقت في أسئلة الجبر
لكل فصل كمّي 20 دقيقة، والأسئلة السهلة والصعبة متساوية في الوزن، ولا تُخصم نقاط على الإجابة الخاطئة. لذلك لا تعلق عند سؤال جبري واحد: إذا لم يتّضح لك الطريق، ضع علامة وانتقل، وارجع إليه إن بقي وقت، وخمّن قبل نهاية الفصل إذا لم تجد الحل.
- ابحث عن البنية قبل الحساب: كثير من الأسئلة (مثل المثال 1) تُحلّ بقانون ضرب مختصر دون إيجاد قيمة كل متغيّر.
- عوّض بالإجابات: في معادلة صعبة الحل، جرّب الخيارات الأربعة، وابدأ بالخيار المتوسط.
- عوّض أعدادًا سهلة: في أسئلة «أيّ من التالي صحيح دائمًا» اختر أعدادًا مثل 0 و1 و−1 و½.
- تدرّب دون آلة حاسبة منذ اليوم الأول، حتى يصبح الحساب اليدوي سريعًا.
المصدر: إرشادات للممتحَنين، الامتحان ثنائي المجال
مواضيع أخرى في القسم
للصورة الكاملة عن القسم راجع دليل التفكير الكمّي، وتابع مع المواضيع الأخرى فيه:
تدرّب على 5 أسئلة الجبر مجانية مع الحلول.
تريد أن تعرف أين تقف؟ جرّب حاسبة علامة البسيخومتري.